Я ЛЮБЛЮ МАТЕМАТИКУ
Головна | Три знамениті задачі Стародавнього світу | Реєстрація | Вхід
 
Субота, 21.10.2017, 14:11
Вітаю Вас Гість | RSS
Меню сайту
Міні-чат
Наше опитування
Оцініть мій сайт
Всього відповідей: 14
Статистика

Онлайн всього: 1
Гостей: 1
Користувачів: 0
Географія сайту
Flag Counter
Онлайн калькулятори http://allcalc.ru/

ЗВИЧАЙНИЙ КАЛЬКУЛЯТОР

ІНЖЕНЕРНИЙ КАЛЬКУЛЯТОР

ДІЛЕННЯ У СТОВПЧИК

ЗНАХОДЖЕННЯ ПОХІДНИХ

ЗНАХОДЖЕННЯ ІНТЕГРАЛІВ

РІШЕННЯ КВАДРАТНОГО РІВНЯННЯ

РІШЕННЯ РІВНЯННЯ 4-ОЙ СТЕПЕНІ

РІШЕННЯ РІВНЯННЯ 3-ІЙ СТЕПЕНІ

ДОДАВАННЯ ЗВИЧАЙНИХ ДРОБІВ

ПЕРЕВІД ДЕСЯТКОВЕ ЧИСЛО У ЗВИЧАЙНІЙ ДРІБ

ПЕРЕВІД ЗВІЧАЙНОГО ДРОБУ У ДЕСЯТКОВИЙ ДРІБ

ПІДНЕСЕННЯ ДО СТЕПЕНЯ

ВІДСОТКОВИЙ КАЛЬКУЛЯТОР

N-ФАКТОРІАЛ

КОМБІНАТОРИКА

ВІДСТАНЬ МІЖ ДВОМА ТОЧКАМИ У ПЛОЩИНІ

РІШЕННЯ РІВНЯННЯ ВИДУ aSin(x)+bCos(x)=c

ПОБУДОВА ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

ПОБУДОВА 3-D ГРАФІКА ФУНКЦІЇ

Три знамениті задачі Стародавнього світу

   Математики Стародавнього світу, як правило,  рівняння розв'язували геометричним способом, використовуючи різні спеціальні прилади. Наприклад, вони могли за допомогою циркуля і лінійки порівняно легко побудувати:

   Суму двох(або декількох)  відрізків: a + b;

  Різницю двох відрізків: a - b;

  Поділ відрізка на  будь-яку кількість рівних кількість(теорема Фалеса).

  Множення відрізка на звичайний дріб.

  Поділ кута навпіл(бісектриса трикутника).

  Відрізок, що рівний:  a∙b/c(побудова подібних трикутників).

   Квадратний корінь добутку двох відрізків(середнє геометричне, найменша висота прямокутного трикутника);

  Квадратний корінь суми квадратів двох відрізків(довжина гіпотенузи прямокутного трикутника);

  Квадратний корінь різниці квадратів двох відрізків(довжина катета прямокутного трикутника).

  Використовуючи ці побудову можна було геометрично отримувати розв'язки лінійних і деяких квадратних рівнянь.

  Зазначимо, вже строго доведено сучасними засобами, що кубічне рівняння з раціональними коефіцієнтами, яке не має раціональних коренів, не може бути геометрично розв'язане в квадратних радикалах, тобто, ні один з коренів цього рівняння не можна побудувати за допомогою циркуля та лінійки(доведення знаходиться в книзі Б.Аргунов,  М.Б. Балка, «Геометрические построения на плоскости» на сторінках 214-217.

  Відома така легенда. Цар Мінос звелів побудувати пам'ятник своєму сину Главку. Архітектори виконали пам'ятник у формі куба, ребро якого дорівнювало 100 ліктям. Але Мінос оглянувши пам'ятник, вирішив, що він маленький. Цар наказав подвоїти  цей куб. Відчуваючи своє безсилля у розв'язку даної задачі, архітектори звернулись за допомогою до вчених геометрів, проте і вони не змогли розв'язати даної задачі.

  Перша задача.

  Делоська задача на побудову. Задача про подвоєння куба.

  Треба побудувати ребро куба, який по об'єму був би в два рази більше даного куба.

   Вказівка. Згідно умови задача, треба розв'язати рівняння  х3 = 2∙а3, тобто треба побудувати добуток відрізка на ірраціональне число, рівне кубічному кореню з двійки. Вже доведено у першій половині  ХІХ століття, що  за допомогою циркуля і лінійки, без  застосування інших  допоміжних приладів, не можна геометрично побудувати відрізок, який би дорівнював кубічному кореню з двійки.

  Друга задача.

  Задача на побудову. Задача про поділ кута на три рівні частини(трисекція).

   Треба довільний кут поділити на три рівні частини.

   Зауваження. Наприклад. Для прямого кута, це зробити можна, якщо на обох сторонах кута побутувати правильні(рівносторонні) трикутники, зі спільною вершиною, яка співпадає з вершиною прямого кута. Виявіть, чи можна поділити на три рівні частини кут, який рівний половині прямого або півтора прямого кута.

  Проблема трисекції кута. Нехай, нам необхідно побудувати правильний дев'ятикутник. А це можна було б зробити так. Побутувати коло. Хордами, що рівні довжині радіуса,  поділити все коло на шість рівних частин. Побудувати правильний шестикутник. У правильному шестикутник провести три маленькі діагоналі і отримати правильний трикутник. Якщо у правильному трикутнику вдасться поділити центральний кут на три рівні частини, то можна було б отримати правильний дев'ятикутник.  Ось тут і виникла проблема. Як за допомогою циркуля виконати трисекцію центрального кута.

  Згодом вияснили, що ця задача є нерозв'язною для циркуля та лінійки. Це строго довів в 1837 році  П. Ванцель.

  Третя задача.

   Задача на побудову. Задача про квадратуру круга.

 Треба побудувати квадрат, площа якого дорівнювала б площі даного круга.

  Було  дуже багато  спроб  розв'язати задачу про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки. Давньогрецький вчений Антіфон запропонував наближений спосіб розв'язування цієї задачі. Він в даний круг,  квадратуру якого знаходив, вписав спочатку квадрат. Потім дуги, хордами яких являються сторони вписаного в круг квадрата, він поділив навпіл  і точки поділу з'єднав з  вершинами квадрата. Таким чином отримав вписаний в круг правильний восьмикутник. Далі, дуги, хордами яких являються сторони вписаного в круг правильного восьмикутника, ділив також навпіл і точки поділу з'єднував з вершинами вказанного восьмикутника і отрмував вписаний в круг правильный 16-кутник. Продовжуючи цей процес далі, він отримував вписані в круг правильні многокутники: 32-кутник, 64-кутник  і т. д.  Він вважав, що вказаною побудовою, яка виконується тільки циркулем і лінійкою, можна прийти до такого правильного многокутника, правда, з дуже великим числом сторін, який повністю вичерпає круг, тобто, його площа будет рівна площі данного круга. А так як для будь-якого правильного многокутника завжди можна побудувати рівновеликий йому квадрат, тоді і  для даного круга, оскільки він вичерпується правильним многокутником, можна побудувати рівновеликий йому квадрат.

  Ще в стародавні часи вчені піддали розв'язок Антіфона різкій критиці. Вони справедливо правильно заявляли, що твердження Антіфона, начебто правильний многокутник може  співпасти з кругом, протирічить  основним началам геометрії. Проте для  цілей  наближеної  квадратури  круга думки Антіфона цілком прийнятні, так як за допомогою цього способу даний круг можна наближено квадрирувати з будь-якою наперед заданою точністю.

  Відомості про доведення неможливості розв'язку задачі  про квадратуру круга за допомогою циркуля та лінійки.

   Спроби давньогрецьких вчених розв'язати задачу про квадратуру круга шляхом проведення прямих та  кіл так і не мали успіху. Воно й зрозуміло чому. Справа в тім, що задача про квадратуру круга, так як і задачі про подвоєння куба і трисекції кута, являється також нерозв'язною за допомогою циркуля та лінійки.

   Ще в 1755 р. Паризька  Академія наук, отримуючи безплідні рукописи математиків, а ще більше нематематиків, які пробували таки розв'язати задачу про квадратуре круга, винесла рішення в подальшому  не приймати на розгляд праці, які стосувалися квадратури круга, а також  і других двох знаменитих задач стародавнього світу, тобто, задач о трисекцію кута та подвоєння куба. Це рішення призвело до зменшення «квадратурщиків», так задачею про квадратуру круга люди стали займатися значно менше.

   Остаточний удар усім ілюзіям «квадратурщиків»,  був нанесений тільки в  другій половині XIX ст.  Німецькому математику Ф. Ліндеману в 1882 р. вдалося, накінець, цілком строго довести, що задача про квадратуру круга нерозв'язна за допомогою циркуля та лінійки і усі старання що-небудь зробити  в цьому   напрямі вказаними засобами є просто безглудими.

  Доведення Ліндемана звичайно непросте  і  далеко виходе за рамки шкільної математики.

 Залишаючи поза увагою викладки Ліндемана про неможливість квадратури круга,  ми обмежимося наступними досить короткими зауваженнями.

  Нехай дано круг радіуса R і потрібно побудувати квадрат, рівновеликий  цьому кругу. Позначимо сторону шуканого квадрата через х, тоді матимемо: х2 = πR2, звідси , сторона квадрата х дорівнює добутку радіуса на π0,5.

  Таким чином, питання про побудову квадрата, рівновеликого даному кругу, звелося до побудови добутку радіуса  R на π0,5 , при цьому цю побудову треба провести за допомогою тільки циркуля та лінійки, тобто, шляхом проведення скінченого числа кіл  та прямих ліній.

   Зазначимо , що за допомогою только циркуля та лінійки можна завжди побудувати добуток радіуса  R на раціональне число (ціле або  дробове), але далеко не завжди можна,  вказаними засобами побудувати добуток даного відрізка на число ірраціональне. Добуток радіуса  R на раціональне число можна побудувати в  деяких випадках,   якщо,   наприклад,   ірраціональне число дорівнює квадратному кореню  із 2 або квадратному кореню різниці двійки та квадратоного кореня трійки, тобто (2-30,5)0,5 ; тоді R∙20,5  знаходиться,  як сторона квадрата, вписаного в круг радиуса R, а R∙(2-30,5)0,5 - як сторона правильного 12-кутника, вписаного в круг радиуса R, при цьому, як відомо, вписати правильний 12-кутник в круг не складає труднощів, після того як в круг спочатку вписано правильний шестикутник.

  В теорії геометричних побудов встановлено, що   даный відрізок R можна помножити за допомогою тільки циркуля та лінійки на дійсне число тільки в тому випадку, якщо це дійсне число може  бути коренем алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами, розв'язного в квадратних радикалах. Число,  яке не може  являтися коренем ніякого алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами прийнято називати транс­цендентним числом. Отже, за допомогою тільки циркуля та лінійки не можна знайти добуток радіуса  R на число трансцендентне. Таким чином, щоб довести нерозв'язність задачі про квадратуру круга за допомогою тільки циркуля та лінійки, необхідно встановити неможливість вказаними засобами побудувати добуток даного відрізка R на число π0,5, а для цього досить показати, що π0,5  або π  є число трансцендентне.

  Заслуга Ф. Ліндемана як раз і заключається в тому, що він вперше в світовій науці цілком строго довів, щоо π є число трансцендентне і тим самим остаточно встановив неможливість розв'язку задачі про квадратуру круга за допомогою тільки циркуля та лінійки.

  Ось чому Ф. Ліндемана називають  «переможцем числа π», а ще краще - «переможцем задачі про квадратуру   круга».

   Історична довідка. Вивченням арифметичної природи числа π історично йшло в двох напрямах. Спочатку в 1761 р. німецький математик І. Ламберт перший показав, що число π є число ірраціональне. Пізніше французький математик А. Лежандр встановив, що квадрат числа π є також число ірраціональне. Накінець, в 1882 р. німецький математик Ф. Ліндеман довів знамениту  теорему, згідно якої, як вказувалось вище, число π є число трансцендентне, тобто,  воно не може  бути коренем якого-небудь алгебраїчного рівняння з цілими коефіцієнтами. Звідси, як наслідок, вже випливала нерозв'язність круга за допомогою тільки циркуля та лінійки знаменитої задачі про квадратуру круга.

   А ось вчені  першого напряму намагалися знайти для числа π якомога більше десяткових знаків. В цьому бажанні у них навіть спостерігалося  «змагання». Так, в 1597 р. за допомогою 230 -кутників Андріан ван-Ромен повторяє наближення для π аль-Каші і підтверджує  правильність його результату. Роком раніше, тобто, в 1596, Людольф ван Цейлон (1539-1610) перекриває результат аль-Каші і Андріана ван-Ромена та обчислює для π спочатку 20 знаків, а потім в 1615 р 32 знаки і, накінець, 35 знаків. Черговий «рекорд» встановив  англійський обчислювач У. Ш е н к с, який в 1873 р. обчислив π з 708 десятковими знаками. Його результат перекрив в 1948 р. вчені-обчислювачі Фергюссон та У р е н ч. Незалежно один від одного вони получили для π 808 знаков. Вони навіть знайшли, що у Шенкса всі десяткові знаки, починаючи з 528-го, невірні. Для тих кому цікаво наведемо наближене значення числа π, знайдене Фергюссоном та Уренчем! Ось це число:

   π ≈ 3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510 58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679 82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128 48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196 44288 10975 66593 34461 284755 64823 37867 83165 27120 19091 45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273 72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91515 36436 78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094 33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548 07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912 98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798 60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132 00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73673 17872 14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68225 89235 42019 95611 21290 21960  86403 44181 59813 62977 47713 09960 51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859 50244 594(55)

   Необхідно відмітити, що результат Фергюссона та Уренча теж  перекрито. В наш час за допомогою обчислювальних машин для числа π знайдено більше мільярда десяткових знаків.

ДЖЕРЕЛО: xz.mylivepage.com

Форма входу
Пошук
Календар
«  Жовтень 2017  »
ПнВтСрЧтПтСбНд
      1
2345678
9101112131415
16171819202122
23242526272829
3031
Архів записів
Друзі сайту
Інноваційна математика
Корисні сайти







Департамент освіти і науки,
молоді та спорту
Закарпатської обласної
державної адміністрації


Ужгородська районна державна адміністрація Закарпатської області







Copyright MyCorp © 2017Безкоштовний конструктор сайтів - uCoz